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Si entendiste el título no hace falta que te explique la imagen, de lo contrario la imagen pertenece a la serie Futurama, más precisamente al capítulo en el cual Bender (el robot) posee la capacidad de replicarse. El problema es que se está replicando sin control y el brillante profesor Farnsworth logró encontrar una serie que define la capacidad de replicación de Bender. Cuando muestra la serie todos se espantan (excepto Fry que no parece entender nada) al ver que la expresion no es convergente.

Conver..que?

Convergente, implica que luego de una cantidad muy grande de tiempo (mejor dicho términos) la serie va a tender a cierto valor. Que sea no convergente implica lo opuesto, que no existe ningún valor al cuál la serie se acerque. Esta serie es una de ellas, veamos porque.

\sum_{n=0}^{\infty} 2^n * \frac{M_0}{2^n (n+1)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{M_0}{(n+1)}

Veamos que si n es muy grande el +1 se vuelve insignificante. Para no dividir por cero redefino.

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{M_0}{(n+1)} = \frac{M_0}{0+1}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M_0}{(n)}= \frac{M_0}{0+1}+M_0\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

Acá estaríamos tentados a pensar que si converge, ya que cuando n es suficiente grande el resultado de la división va a tender a 0, para analizar mejor esto escribamos alguno de los términos.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...

Agrupando algunos términos

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=(\frac{1}{1})+(\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7})+(\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12})+...

Cada uno de los términos agrupados entre paréntesis es igual o mayor a 1/2 por lo que si ademas agrupamos de a dos de estos terminos vamos a tener una suma mayor a 1+1+1+... lo cual es evidente que no hay ninguna convergencia.

El barman

Veamos otro ejemplo: entra un grupo grande de personas, el primero pide una cerveza, el segundo pide “la mitad de lo que pidio el primero”, el tercero dice “la mitad de lo que pidió el segundo” y así sucesivamente. El barman sirve dos cervezas. Veamos que forma tiene esto:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}

Esto es una serie geometrica con termino general menor a uno, por lo cual converge y en particular converge a 2.

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1-\frac{1}{2}^n}{1- \frac{1}{2}} que con n \rightarrow \infty es claro que tiende a 2.

De esto podemos no solo afirmar que Matt Groening tiene un humor bastante nerd, sino también que las series son interesantes de estudiar, no solo por su capacidad de representar de manera ‘sencilla’ ciertos escenarios sino también que a veces su resultado no es tan intuitivo como uno tendería a pensar.

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